Mines Ponts Maths MP

Énoncés, corrigés et rapports des épreuves écrites de mathématiques MP posées au
Concours Commun Mines Ponts depuis 1999

2017

  • Maths I. Étude d’un endormorphisme d’un espace de fonctions numériques

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  • Maths II. Sous-groupes compacts du groupe linéaire

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 2016

  • Maths I. Autour de l’inégalité de Hoffman-Wielandt

    Le problème commence par deux questions classiques d’algèbre linéaire, consistant à diagonaliser une matrice.

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  • Maths II. Théorème taubérien de Hardy–Littlewood-Karamata

    Le sujet consiste en la démonstration par Karamata d’un résultat obtenu auparavant par Hardy et Littlewood sur le comportement asymptotique de la somme partielle d’une série entière en fonction d’un équivalent simple de celle-ci au bord de son disque de convergence. Il fait intervenir plusieurs branches de l’analyse : intégrales dépendant d’un paramètre, séries de fonctions, familles sommables, mais aussi un peu de raisonnement sur les entiers qui sont sommes de deux carrés et un peu d’algèbre linéaire.

    Ce problème requiert plusieurs qualités de la part des candidats : une bonne connaissance de leur cours, la pratique des méthodes courantes de raisonnement et de calcul, mais aussi la compréhension des questions, la capacité à saisir le fil conducteur du problème et de l’esprit d’initiative pour résoudre les questions dont la solution n’est pas évidente a priori.

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2015

  • Maths I. Opérateur de Volterra et équations différentielles

    Le but du problème est de donner des conditions nécessaires et suffisantes d’existence de solutions d’un problème de Sturm-Liouville, c’est-à-dire de solutions d’une équation différentielle linéaire du second ordre avec des conditions initiales. À la différence d’un problème de Cauchy, si on désigne par y une solution de l’équation différentielle, les conditions initiales portent sur y(a) et y’(b), a et b étant distincts.
    Le problème met en jeu de l’algèbre euclidienne, des équations différentielles, des probabilités, de la topologie et des séries de fonctions, ce qui assure une bonne couverture du programme de mathématiques de la filière MP.

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  • Maths II. Norme d’une matrice aléatoire

    Ce problème propose l’étude de la norme d’une matrice aléatoire dont les coefficients sont des variables aléatoires sous-gaussiennes.
    Il aborde tout aussi bien l’algèbre linéaire, l’analyse et un peu de topologie élémentaire que les probabilités et les variables aléatoires.

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2014

  • Maths I. Représentation matricielle AeA

    Il s’agit de montrer que toute matrice carrée à coefficients complexes s’écrit sous la forme AeA.
    Le problème porte sur une partie significative du programme d’algèbre linéaire et sur une partie du programme d’analyse.
    Les notions suivantes jouant un rôle important : limites, équivalents, algèbre linéaire, rang, espaces propres, espaces caractéristiques, endomorphismes nilpotents, matrices semblables, déterminants, polynôme caractéristique, etc.
    L’ énoncé comprend de nombreuses questions accessibles aux élèves faibles et moyens.

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  • Maths II. Points fixes et opérateurs à noyau

    Le problème propose, dans le prolongement du théorème de Picard, la démonstration de quelques résultats d’existence et d’unicité du point fixe d’une fonction et leur application à des équations intégrales de Fredholm.
    Ce sujet s’est avéré, de longueur et de difficulté, adapté au niveau moyen des candidats. Il a permis un bon étalement des notes et en particulier, d’évaluer tant la connaissance du cours que la maîtrise de la logique mathématique et la capacité à comprendre les objectifs d’un problème donné.

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2013

  • Maths I. Applications bilinéaires symétriques plates

    Il s’agit d’étudier le concept de forme bilinéaire plate à valeurs vectorielles. Le problème porte sur une partie significative du programme d’algèbre et de topologie. Les notions suivantes jouant un rôle important : algèbre linéaire, rang, espaces propres, matrice symétrique réelle, déterminants, polynôme caractéristique, ouverts, parties denses…etc..

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  • Maths II. Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal

    Le sujet porte sur quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal.
    Il s’agit essentiellement de démontrer que son enveloppe convexe est la boule unité de l’espace vectoriel des matrices pour la norme subordonnée à la norme euclidienne et qu’elle en constitue exactement l’ensemble des points extrémaux.
    Il s’agit donc essentiellement d’un sujet d’algèbre, même s’il fait utiliser dans les parties C et D quelques notions de topologie.
    C’était un sujet classique, dans la mesure où plusieurs questions constituent en elles-mêmes des exercices habituellement posés, voire des démonstrations de certains points de cours.

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2012

  • Maths I. Réduction de certaines matrices de coefficients binomiaux

    Il s’agit d’étudier les équations algébriques réciproques et la réduction de certaines matrices à coefficients binomiaux. Le problème porte sur une grande partie du programme d’algèbre linéaire de première année. Les notions de matrice symétrique réelle et de polynôme caractéristique (vues en deuxième année) sont également utilisées.
    L’énoncé comprend quelques questions intéressantes et un grand nombre de questions faciles. Les candidats ont travaillé essentiellement sur ces dernières questions, suffisamment nombreuses pour les occuper pendant toute la durée de l’épreuve. Les éléments présentés dans la Section 3 ont aidé le jury à départager les candidats moyens, faibles et bons.

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  • Maths II. Formule sommatoire de Poisson

    Le sujet porte sur quelques propriétés de la transformation de Fourier des fonctions d’une variable réelle, permettant d’aboutir à la formule de Poisson pour des fonctions possédant une propriété de majoration suffisante en l’infini, ainsi que leur transformée de Fourier. Il en donne trois applications : la formule d’inversion de Fourier, le théorème d’échantillonnage de Whittaker et la resommation d’Ewald. Il fournit également le contre-exemple de Katznelson à la formule de Poisson dans le cas où l’on suppose seulement f intégrable ainsi que sa transformée de Fourier.

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2011

  • Maths I. Critère de diagonalisation de Klarès

    Il s’agit d’étudier la classique décomposition de Dunford d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des complexes. Puis on fait établir le critère de diagonalisation de Clarès.
    Le problème porte donc sur une grande partie du programme d’algèbre linéaire de seconde année.
    Le problème est très progressif et sans difficulté majeure. Les candidats connaissant bien le cours ont trouvé de nombreuses questions à leur portée. Les très bons candidats ont traité la majeure partie du problème.

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  • Maths II. Sur le calcul des variations

    Ce problème porte sur le calcul des variations. La partie préliminaire A teste les connaissances d’algèbre linéaire ainsi que le cours sur les équations différentielles linéaires. La partie B démontre un lemme de Du Bois-Reymond qui permet dans la suite de transformer une équation variationnelle en une équation différentielle. Ces parties sont l’occasion pour les candidats de montrer le sérieux de leur préparation.
    La partie C permet de discuter, dans l’abstrait puis sur deux exemples, la condition d’Euler-Lagrange pour la minimisation d’une fonctionnelle définie sur l’espace vectoriel des fonctions C2 ( [ 0,1] ; R ) et dont les valeurs sont prescrites au bord. Sans difficulté particulière, cette partie permet de tester la capacité du candidat à construire un raisonnement.
    La partie D est consacrée à l’étude d’une fonctionnelle définie sur l’espace des fonctions C4 (R+ ; R) et dont les deux premières dérivées sont de carré sommable. La condition d’intégrabitité permet de transformer l’équation d’Euler-Lagrange d’ordre 4 en une équation différentielle d’ordre 2 qu’on doit résoudre afin d’expliciter tous les minimiseurs. Cette partie contient des raisonnements plus subtiles sur des questions d’intégrabilité et ne se prête pas du tout au grapillage.
    La partie E propose, comme application, la démonstration d’une inégalité fonctionnelle de Hardy et Littlewood. En relisant attentivement les indications du sujet, cette partie peut être traitée en admettant les résultats antérieurs.

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2010

  • Maths I. Problème de Dirichlet

    L’objet de ce problème est d’étudier le problème de Dirichlet sur le disque unité du plan complet.
    Le sujet met en jeu une grande partie du programme d’analyse. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : séries entières, rayon de convergence, séries de Fourier, questions de convergence uniforme, problème d’extremum, intégrales à paramètres, espaces vectoriels normés de dimension infinie.
    Le problème se révèle un peu trop long pour les candidats mais il comporte suffisamment de questions ouvertes pour mettre clairement en évidence les qualités d’initiative et de réflexion.

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  • Maths II. Dénombrements de certaines matrices binaires

    Le sujet part du problème très simple suivant. On dit qu’une matrice carrée d’ordre n est binaire : si elle ne contient que des 0 et des 1 et si elle comporte exactement deux 1 par ligne et deux 1 par colonne. On se pose alors les trois questions suivantes : combien y a-t-il de telles matrices ? Quel est un équivalent simple de leur nombre quand n tend vers ? Quelle est la dimension de l’espace vectoriel qu’elles engendrent ?
    Le cheminement permettant de répondre à ces questions passe par des raisonnements simples de dénombrement, puis par les séries entières, les équations différentielles, les intégrales généralisées et se termine par un peu d’algèbre linéaire et bilinéaire. Plusieurs questions ponctuelles, tout en faisant avancer dans le problème, permettent aux étudiants désorientés de faire au moins valoir leur connaissance du cours et leur capacité à résoudre des exercices particuliers.

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2009

  • Maths I. Problème des moments

    L’objet de ce problème est d’étudier les propriétés des moments d’une application. Le sujet met en jeu une partie importante du programme d’analyse. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : formules de Taylor, inégalités des accroissements finis, intégrales à paramètres, théorèmes de convergence dominée, séries entières.
    La taille du problème est assez bien adaptée à la durée de l’épreuve, mais est peut être un peu trop longue pour certains candidats. Il semble en outre que l’énoncé comporte un peu trop de questions fermées. La plupart des questions sont assez faciles mais elles sont souvent rédigées de manière approximative, peut être par manque de temps.

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  • Maths II. Théorème de Müntz

    Le but du problème est la démonstration du théorème de Müntz qui relie la divergence de la série 1/λn à l’approximation en norme uniforme et en moyenne quadratique d’une fonction continue sur [0,1] par des combinaisons linéaires des fonctions x → xλn.
    Le sujet met en jeu des connaissances en algèbre linéaire et multilinéaire (familles libres, déterminants), en géométrie euclidienne (projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie), et en analyse (distance d’un point à une partie dans un espace vectoriel normé, comparaison de normes, densité d’un sous-espace dans C([0,1]), étude de séries numériques).
    Les notions de topologie, intervenant constamment dans le problème, ont semblé décontenancer bon nombre de candidats qui n’ont pas toujours réussi à retrouver un équilibre sur des questions pourtant plus faciles.

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2008

  • Maths I. Inégalité d’Alexandrov

    L’objet de ce problème est d’étudier le permanent et d’établir l’inégalité d’Alexandrov.
    Le sujet met en jeu une partie du programme d’algèbre et d’analyse. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : endomorphisme symétrique, forme quadratique, dimension, fonction continue sur un fermée borné d’un espace vectoriel normé de dimension finie.

ÉnoncéCorrigé 1 Rapport

  • Maths II. Support de la transformation de Radon

    L’épreuve, qui porte sur le support de la transformation de Radon, est très progressive et aborde des aspects variés de l’analyse figurant au programme MP.

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2007

  • Maths I. Séries et caractères

    L’objet de ce problème est d’étudier les propriétés de certains caractères de Dirichlet et de certaines séries entières associées.
    La partie I propose l’étude de quelques cas particuliers simples.
    La partie II conduit à démontrer la convergence d’une certaine série.
    La partie III a pour but la définition et l’étude asymptotique d’une certaine série entière.
    Le sujet met en jeu une partie du programme d’arithmétique élémentaire et d’analyse. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : congruences modulo un entier, division euclidienne, convergence d’une série numérique, critère de Cauchy, série entière, comparaison série et intégrale.

ÉnoncéCorrigé 1 | Corrigé 2Rapport

  • Maths II. Algèbres de Lie

    Le problème introduit la notion d’algèbre de Lie. Son objectif est d’établir la condition nécessaire et suffisante pour qu’une algèbre de Lie soit résoluble. Le résultat obtenu en première partie est utilisé en seconde.
    Le problème exige une bonne connaissance des notions fondamentales d’algèbre linéaire : base d’un espace vectoriel, endomorphismes, vecteurs propres etc., aussi bien qu’une maîtrise suffisante des techniques, telles que le calcul matriciel.
    La première partie est assez simple. Pour résoudre quelques questions, il suffit d’appliquer directement les théorèmes de base du cours. Toutefois beaucoup des candidats se sont trouvés en difficulté même avec ses questions.
    Quelques questions en seconde partie exigent une certaine réflexion.

ÉnoncéCorrigé 1 Rapport

2006

  • Maths I. Théorème de Frobenius

    L’ objet du problème est de prouver le classique théorème de Frobenius.
    La partie I fait établir l’existence d’un vecteur propre strictement positif pour une matrice carrée à coefficients réels positifs ou nuls.
    La partie II propose une méthode d’approximation pour construire un tel vecteur propre. Le sujet met en jeu une partie du programme d’analyse. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : notion de borne supérieure, topologie d’un espace vectoriel normé de dimension finie, valeur d’adhérence etc…
    Le problème est très long et comporte beaucoup de notations.

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  • Maths II. Étude des racines du polynôme Pn(X)= X(X-1)…(X-n).

    L’objet du problème est l’étude des racines du polynôme Pn(X)= X(X-1)…(X-n). Les parties I et II sont indépendantes, la troisième s’appuie sur un résultat obtenu en partie II.
    La première partie montre la croissance des parties fractionnaires des racines de Pn. Elle fait appel à des notions très élémentaires : propriétés élémentaires des polynômes, théorème de Rolle, étude de fonctions.
    La partie II consiste en l’étude de quelques propriétés de la fonction Gamma. Les premières questions reprennent des résultats classiques, les questions 18 à 23) ont pour objet la preuve d’un résultat de convergence plus original. On peut regretter que la question 14), qui consiste en une application du théorème de dérivation sous le signe intégral, soit aussi souvent mal traitée.
    La troisième partie est assez sélective, mais le jury a eu l’agréable surprise de la voir souvent correctement abordée.

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2005

  • Maths I. Étude du transport de Monge dans le cas uni-dimensionnel

    L’objet de ce problème est l’étude du transport de Monge dans le cas uni-dimensionnel. Il s’agit de déplacer un tas de sable dont le poids entre les abscisses u- du et u + du est donné par 2 exp( -u2/2) du vers un tas de sable de densité linéique f( u) exp( -u2 /2).
    La partie I fait établir quelques calculs préliminaires.
    La partie II fait établir une inégalité et demande de caractériser le cas d’égalité.
    La partie III fait étendre les résultats de II au cas de fonctions pouvant s’annuler.
    Le sujet met en jeu une partie du programme d’analyse. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : sens de variation d’une fonction, intégrales, équivalents et inégalités, intégrales à paramètres, convergence dominée, convergence uniforme.
    Le problème est long et personne ne le traite en totalité.

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  • Maths II. Inégalité relative au déterminant de la somme de deux matrices

    Le sujet de ce problème a pour objectif d’établir une inégalité relative au déterminant de la somme de deux matrices. Il fait appel aux notions de base d’une partie assez large du programme (algèbre, matrices, analyse, fonctions continues, …). Les démonstrations demandées permettent de vérifier la bonne compréhension des connaissances acquises par les candidats.
    Faisons d’abord une remarque générale pour toutes les questions : la réponse “d’après le cours” à une question n’est pas prise en compte s’il n’y a pas une démonstration correcte pour étayer l’affirmation.

ÉnoncéCorrigé 1 Rapport

2004

  • Maths I. Étude et calcul de l’intégrale integrale-mines-mp-maths1-2004

    L’objet de ce problème est l’étude et le calcul de l’intégrale integrale-mines-mp-maths1-2004La partie I fait établir une première expression de I et étudier la fonction t → arctan t / eπt – 1.
    La partie II introduit une nouvelle fonction qui permet de transformer l’expression de I établie dans la première partie. La partie III fait calculer explicitement I.
    Le sujet met en jeu une partie importante du programme d’analyse. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : suites, séries, intégrales, développements limités, équivalents et inégalités, sens de variation d’une fonction, équations différentielles, intégrales à paramètres, séries de Fourier.
    Le problème est long et personne ne le traite en totalité.

ÉnoncéCorrigé 1 Rapport

  • Maths II. Fonction harmonique de deux variables. Déformations régulières du plan.

    L’épreuve comporte deux problèmes complètement indépendants : le premier examine quelques propriétés des fonctions harmoniques de deux variables, tandis que le deuxième consiste en l’étude des déformations régulières du plan. Leur principal point commun est qu’ils utilisent tous les deux les fonctions de deux variables réelles.
    Le premier problème permet la démonstration de résultats classiques : le principe du maximum, la propriété de la moyenne et le fait que les seules fonctions harmoniques bornées définies dans tout le plan sont les fonctions constantes. Il est à noter que l’on déduit immédiatement de ce dernier résultat le théorème de D’Alembert, en choisissant comme fonction l’inverse d’un polynôme de la variable complexe z = x + iy : si ce polynôme n’admet pas de racine, cette fonction est harmonique, bornée et définie dans tout le plan, donc est constante.
    Le deuxième problème consiste en la preuve de l’existence d’une déformation régulière du plan envoyant n points donnés sur n autres. Il s’agit d’abord de construire une déformation envoyant un point donné sur un point suffisamment voisin de même abscisse, et laissant invariants n autres points fixés n’ayant pas la même abscisse que les deux premiers. Ensuite on généralise progressivement jusqu’à supprimer les hypothèses de proximité et d’égalité des abscisses des deux premiers points. Il ne reste plus qu’à composer n déformations de ce type pour obtenir le résultat demandé.

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2003

  • Maths I. Étude du concept de μ–presque orthogonalité

    L’objet de ce problème est l’étude du concept de μ–presque orthogonalité pour une famille de vecteurs d’un espace euclidien.
    La partie I introduit deux suites réelles (In) et (Sn) et demande de déterminer un équivalent simple de (Sn).
    La partie II introduit et fait étudier le concept de μ–presque orthogonalité. La 1-presque orthogonalité coïncide avec la notion d’orthonormalité. Toute base formée de vecteurs de norme 1 d’un espace euclidien de dimension finie est μ–presque orthogonale pour un certain réel μ assez grand. En général, dans un espace euclidien de dimension infinie, une famille libre n’est pas μ–presque orthogonale, la construction d’un contre exemple utilise un résultat de la partie I.
    Le sujet met en jeu une partie du programme d’analyse et d’algèbre. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : suites, intégrales, développements limités, équivalents et inégalités, sens de variations d’une fonction, produit scalaire, familles libres de vecteurs, matrices symétriques réelles, diagonalisation.

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  • Maths II. Résolution de l’équation Ax = b

    Le problème proposé est très abordable et ses objectifs clairement annoncés : étant donné A une matrice réelle symétrique positive et b un vecteur de ℝn, on s’intéresse à la résolution de l’équation linéaire d’inconnue x dans ℝn : Ax = b, par le biais de méthodes analytiques (méthode du gradient et du lagrangien).
    Les outils utilisés concernaient diverses parties du programme : algèbre linéaire et bilinéaire, calcul différentiel et extrema, algorithmes d’approximation d’une solution, etc… en sorte que tout candidat s’étant normalement approprié les connaissances de base de la filière MP peut obtenir une note convenable à une telle épreuve. De fait, les résultats préliminaires établis au début (questions 1, 2 et 3), qui consistent essentiellement en des rappels de cours, donnent d’emblée – à de rares exceptions près – une indication sur la teneur de l’ensemble de la copie du candidat.
    L’énoncé avait une longueur raisonnable.

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2002

  • Maths I. Étude des propriétés d’une suite (Bn)n∈NN

    L’objet de ce problème est l’étude des propriétés d’une suite (Bn)n∈NN de nombres réels définis par récurrence.
    Le sujet met en jeu une partie du programme d’analyse. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : séries entières, familles sommables, suites et séries, équivalents et encadrements, extremas et sens de variations d’une fonction, dérivabilité, théorème de convergence dominée.
    Le problème est très long et personne ne le traite en totalité.

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  • Maths II. Nombres premiers

    Ce sujet propose un beau voyage dans le monde des nombres premiers.
    Le but de la première partie est de démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée et d’étudier la nature de la série de terme général 1/pi, i = 1, 2,…
    Après avoir revu l’infinitude de leur ensemble, il s’agit d’aborder leur répartition dans l’ensemble des entiers naturels. On commence par établir la divergence de la série de leur inverse, on enchaîne sur une majoration du produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier donné et on termine par un encadrement de la célèbre fonction arithmétique sans aller bien-sûr jusqu’au théorème d’Hadamard-De La Vallée Poussin. L’énoncé s’achève enfin par une petite incartade du côté du système RSA de cryptographie à clef publique.
    Pour bien réussir ce problème, nul n’est besoin d’être un mathématicien chevronné puisque de nombreuses indications en parsèment l’énoncé et que la grande majorité des questions s’avèrent n’être que de simples applications des grands théorèmes du cours tant d’Analyse que de Combinatoire ou d’Algèbre Générale.

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2001

  • Maths I. Étude des applications semi-linéaires d’un espace vectoriel complexe

    L’objet de ce problème est l’étude des applications semi-linéaires d’un espace vectoriel complexe de dimension finie dans lui-même.
    La partie I demande d’établir une traduction matricielle de la notion de semi-linéarité et fait étudier les valeurs et vecteurs co-propres d’une application semi-linéaire. Plusieurs exemples sont proposés pour illustrer ces concepts.
    La partie II fait établir, en guidant les candidats pas à pas, une condition nécessaire et suffisante de co-diagonalisabilité d’une matrice complexe quelconque.
    Le sujet met en jeu une grande partie du programme d’algèbre linéaire. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : espace vectoriel, rang, base, calcul matriciel, sous-espace propre, réduction des endomorphismes… etc.

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  • Maths II. Approximations

    Ce sujet est une invitation au pays des approximations : estimation pour la norme uniforme sur un segment, de l’écart entre une fonction f et une suite de polynômes d’interpolation, en fonction de la classe de cette fonction.
    Le sujet est classique dans les thèmes abordés. Beaucoup de points évoqués tant d’algèbre que d’analyse étaient largement connus :
    – polynômes d’interpolation de Lagrange, de Hermite,
    – propriétés des polynômes orthogonaux dans R[X] muni d’une structure d’espace préhilbertien,
    – polynômes de Tchebychev.
    Le problème était adapté aux candidats tant par la longueur que par la difficulté.

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2000

  • Maths I. Étude d’endomorphismes définis par l’action d’un groupe sur un espace vectoriel de matrices complexes

    Le problème fait étudier divers endomorphismes définis par l’action d’un groupe sur des sous-espaces vectoriels M et V de l’espace des matrices (2, 2) à coefficients complexes.
    La partie I fait établir des propriétés élémentaires satisfaites par les éléments de M et par certains sous-groupes du groupe des matrices inversibles de M.
    Les parties II et III font étudier divers endomorphismes de V construits à partir de certains éléments inversibles de M. La résolution de plusieurs questions de ces parties II et III fait appel aux résultats de la partie I.
    Le sujet met en jeu une grande partie du programme d’algèbre linéaire. Plus précisément, les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème : espace vectoriel, dimension, base, matrice, transposée, trace, déterminant, produit scalaire, adjoint d’un endomorphisme, endomorphisme unitaire, sous-groupe…etc.

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  • Maths II. Irrationalité de ln2

    Le but du problème est annoncé d’emblée : la démonstration de l’irrationalité de ln2.

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1999

  • Maths I. Suites équiréparties

    Le problème porte sur les suites équiréparties.

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  • Maths II. Notion de converge et séries de Fourier

    Ce problème, divisé en trois parties, fait essentiellement appel à la notion de convergence uniforme et aux techniques et résultats du programme sur les séries de Fourier.

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